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I will sketch some themes and results related to real integrals and their connections to geometry, analysis, and number theory. Using real geometry and real semi-algebraic sets, I will sketch classes of functions which are stable under (parametric) integration, Fourier transform, Mellin transform, and Laplace transform (Laplace still being work in progress). This has connections to classes of distributions and their properties (like holonomicity), to periods and exponential periods and families thereof, and questions around (functional) transcendence. The directions I will focus most on comprise work by many people, in particular by Aizenbud, (my PhD student) Buggenhout, Comte, Kaiser, Lion, Miller, Raibaut, Rolin, Servi, Stout, (my PhD student) Vandebrouck. I will raise some open questions for future research as well.
Let X be a nonsingular real algebraic set and let M be a compact smooth submanifold of X. I will discuss approximation of M by nonsingular algebraic subsets of X. There is a new (2024) result by Olivier Benoist concerning the case 2dimM<dimX and involving an appropriate bordism condition. I will interpret the bordism condition in terms of homology and present some applicationsLet X be a nonsingular real algebraic set and let M be a compact smooth submanifold of X. I will discuss approximation of M by nonsingular algebraic subsets of X. There is a new (2024) result by Olivier Benoist concerning the case 2dimM<dimX and involving an appropriate bordism condition. I will interpret the bordism condition in terms of homology and present some applications.
Les équations aux dérivées partielles dispersives sont des équations d'évolution (c'est-à-dire comportant la variable temporelle) dont les solutions préservent l'énergie, mais peuvent néanmoins décroître en temps long parce que les différentes fréquences se propagent avec des vitesses distinctes. Dans certains cas, il existe des solutions spéciales appelées « solitons » qui ne changent pas de forme au fil du temps. La conjecture de résolution en solitons prédit que les solitons sont le seul obstacle à la décroissance des solutions. Plus précisément, toute solution se décompose en une superposition de solitons et d'un terme évanescent appelé « radiation ». Nous présenterons cette conjecture dans le contexte de l'équation des applications d'ondes critique, qui est l'analogue de l'équation des ondes pour les applications de R^2 dans S^2. Nous considérons les solutions « équivariantes », qui sont des solutions ayant une certaine symétrie préservée par le flot. Dans ce cas, les solitons sont centrés à l'origine, mais ils peuvent néanmoins se découpler si leurs échelles caractéristiques sont très différentes. Dans un travail commun avec Andrew Lawrie, nous démontrons que la résolution en solitons est vérifiée. À la lumière de ce résultat, il est naturel d'examiner le comportement à long terme des échelles de plusieurs solitons en interaction. Dans cette direction, dans un travail récent avec Joachim Krieger, nous construisons des solutions développant une singularité par concentration simultanée de deux solitons à l'origine.
We study the problem of answering connectivity queries on real solution sets of polynomial systems, a central question in computational real algebraic geometry with applications ranging from geometry to robotics. Following Canny’s roadmap framework, connectivity queries on a high-dimensional solution set are reduced to connectivity queries on a one-dimensional algebraic curve intersecting all connected components.
We present an algorithm that, under generic assumptions, computes such roadmaps in subquadratic time with respect to the output size, thereby extending the best known nearly optimal complexity bounds to non-compact situations. We also show that the connectivity of the roadmap itself, namely of a real algebraic curve, can be analyzed in time cubic in its size.
Finally, we illustrate the practical applicability of these methods through original implementations leveraging recent advances in polynomial system solving software.
En géométrie intégrale, la formule cinématique additive exprime le volume moyen de la somme de Minkowski de deux compacts convexes placés aléatoirement dans l'espace euclidien. Que se passe-t-il si on ne les suppose plus convexes ? Et si l'on remplace l'espace euclidien par un autre groupe de Lie ? Dans un travail en collaboration avec Andreas Bernig, nous montrons une formule cinématique additive pour les sous-analytiques de l'espace euclidien et de la sphère de dimension 3. La clé est de généraliser la somme de Minkowski par la convolution des fonctions constructibles définie par Viro et Schapira dans les années 80. Cette convolution, fondée sur des calculs de caractéristique d'Euler, est définie à l'aide d'un formalisme des opérations sur les fonctions constructibles.
During the talk, I will discuss the classical Hilbert 17th problem. This problem can be divided into two smaller ones. First question is, if we have a nonnegative function, is it necessarily a sum of squares? And if it is a sum of squares, how many squares are needed? We will be mainly interested in the second problem. In particular, I will discuss recent results concerning the Pythagoras number of a ring for various rings occuring in real algebraic geometry, such as coordinate rings of a real algebraic set, rings of regular functions on an algebraic set, fields of rational functions, and possibly the rings of k-regulous functions.
La dualité de Gale pour les systèmes polynomiaux est une généralisation de la dualité pour les variétés linéaires (entre équations et paramétrisations) inventée par moi et F. Sottile. Elle vient avec des bijections entre les solutions complexes, réelles, positives des systèmes duaux. Il existe même une version pour les semi-algébriques et une version locale où la multiplicité locale est préservée. Nous décrirons ces différentes versions et présenterons quelques applications: conditions suffisantes de nature combinatoire à l'existence de solutions positives, bornes sur la multiplicité locale, bornes sur le nombre de solutions positives.
On étudie des extensions algébriques de corps réels pour lesquelles le polynôme minimal de tout élément admet une unique racine réelle. On peut ainsi considérer la clôture monoréelle d'un corps ordonné. De telles extensions arrivent naturellement quand on s’intéresse à des questions d'injectivité d'applications entre variétés algébriques réelles.
Au cours de cette exposé, je vais introduire la question suivante et discuter des différentes approches possibles permettant d’y répondre :
Problème d’algébricité sur $Q$ : (Parusinski, 2021) Tout ensemble algébrique X dans $R^n$ est-il homeomorphe à un ensemble $Q$-algébrique X' de $R^m$, avec $m$ supérieur à $n$ ?
Je vais donner une réponse positive dans le cas des ensembles algébriques réels non singuliers et je discuterai des conséquences pour le cas singulier. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Riccardo Ghiloni.
Si le temps le permet, je discuterai également des travaux en cours et des projets avec Ghiloni et Parusinski.
Les résultats obtenus par Rolin et Servi sur les classes quasianalytiques fournissent une méthode très générale pour la construction de structures o-minimales polynomialement bornées. Néanmoins, les structures o-minimales obtenues par le biais de cette méthode possèdent toutes la décomposition cellulaire lisse. En particulier, toute fonction définissable à variable réelle est lisse sauf en un nombre fini de points. Pour autant, Le Gal et Rolin ont construit une structure o-minimale sans la décomposition cellulaire lisse en 2009. Nous présenterons une généralisation des résultats de Rolin et Servi qui admet la structure de Le Gal et Rolin comme cas particulier. Nous montrerons ensuite qu'il existe une structure o-minimale dans laquelle on peut définir une fonction nulle part lisse.
We generalize the seminal polynomial partitioning theorems of Guth and Katz [1, 2] to a set of semi-Pfaffian sets. Specifically, given a set $\Gamma \subseteq \mathbb{R}^n$ of $k$-dimensional semi-Pfaffian sets, where each $\gamma \in \Gamma$ is defined by a fixed number of Pfaffian functions, and each Pfaffian function is in turn defined with respect to a Pfaffian chain $\vec{q}$ of length $r$, for any $D \ge 1$, we prove the existence of a polynomial $P \in \mathbb{R}[X_1, \ldots, X_n]$ of degree at most $D$ such that each connected component of $\mathbb{R}^n \setminus Z(P)$ intersects at most $\sim \frac{|\Gamma|}{D^{n - k - r}}$ elements of $\Gamma$. Also, under some mild conditions on $\vec{q}$, for any $D \ge 1$, we prove the existence of a Pfaffian function $P'$ of degree at most $D$ defined with respect to $\vec{q}$, such that each connected component of $\mathbb{R}^n \setminus Z(P')$ intersects at most $\sim \frac{|\Gamma|}{D^{n-k}}$ elements of $\Gamma$. To do so, given a $k$-dimensional semi-Pfaffian set $\gamma \subseteq \mathbb{R}^n$, and a polynomial $P \in \mathbb{R}[X_1, \ldots, X_n]$ of degree at most $D$, we establish a uniform bound on the number of connected components of $\mathbb{R}^n \setminus Z(P)$ that $\gamma$ intersects; that is, we prove that the number of connected components of $(\mathbb{R}^n \setminus Z(P)) \cap \gamma$ is at most $\sim D^{k+r}$. Finally, as applications, we derive Pfaffian versions of Szemer\'edi-Trotter-type theorems and also prove bounds on the number of joints between Pfaffian curves. This is joint work with Martin Lotz and Nicolai Vorobjov.
These results, together with some of my other recent work with Adam Sheffer on bounding the number of distinct distances on plane Pfaffian curves, are steps in a larger program - pushing discrete geometry into settings where the underlying sets need not be algebraic. I will also discuss this broader viewpoint in the talk.
[1] Larry Guth, Polynomial partitioning for a set of varieties, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 159, Cambridge University Press, 2015, pp. 459–469.
[2] Larry Guth and Nets Hawk Katz, On the Erdős distinct distances problem in the plane, Annals of mathematics (2015), 155–190.
Soit C une courbe algébrique réelle. Un morphisme $\C \to P^1$ est séparant si la préimage des points réels de P^1 est exactement la partie réelle de C. Le degré d'un tel morphisme est nécessairement supérieur au nombre de composantes de la partie réelle de C. Mais existe-t-il des morphismes séparants de degré égal au nombre de composantes ? Dans cet exposé on présentera une obstruction à l'existence de morphismes séparants de petit degré. Il s'agit d'un travail en cours avec A. Demory et A. Toussaint, basé sur des idées de M. Manzaroli.
J'expliquerai comment la géométrie de Hilbert des convexes peut être généralisée aux corps ordonnés non archimédiens et utilisée pour étudier les propriétés à grande échelle des géométries de Hilbert réelles et leurs dégénérescences. En étudiant le cas des polytopes, nous obtenons ainsi une description explicite des cones asymptotiques des géométries de Hilbert des polytopes réels.
Travail en commun avec Xenia Flamm
Dans le contexte des champs de vecteurs analytiques réels en un point singulier, Cano, Moussu et Sanz ont introduit et étudié la notion de pinceau intégral de trajectoires en ce point afin d'obtenir des informations sur les possibles comportements dynamiques. Nous prolongeons cette approche du côté formel, en utilisant la calculabilité explicite des transséries (réticulées i.e. grid-based au sens d'Ecalle - van der Hoeven) pour la résolution d'équations différentielles. Plus précisément, étant donné un champ de vecteur formel du plan, nous introduisons la notion de trajectoire transsérielle, et fournissons une description explicite des différents pinceaux transseriels possibles. Il s'agit d'une première étape dans l'étude en cours de la même question en dim 3. Travail en commun avec Olivier Le Gal, Daniel Pananzzolo et Fernando Sanz.
Dans cet exposé nous évoquerons au moins une analogie structurelle entre le schéma des arcs et les opérateurs différentiels logarithmiques dans le cas des singularités des courbes planes homogènes.
La géométrie lipschitz est une branche de la théorie des singularités qui étudie un germe d'espace analytique complexe $(X,0)\subset(\mathbb{C}^n,0)$ en le munissant d'une de deux métriques : sa métrique externe, induite par celle standard de l'espace ambiant, ou sa métrique interne, obtenue en mesurant la longueur des chemins sur $(X,0)$. Je ferai un panorama de certains résultats récents obtenus dans des collaborations ou travaux en cours avec André Belotto et Anne Pichon, me focalisant en particulier sur la structure métrique interne des surfaces. Cette étude fait intervenir l'entrelac de la singularité $(X,0)$, ainsi que deux de ses avatars, l'un non archimédien et l'autre logarithmique.