Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux aspects continus et discrets de la decomposition de Hodge-Helmhltz c'est à dire la décomposition d'un champ de vecteur en une partie à divergence nulle et une partie à rotationnel nul. D'un point de vue continu, nous verrons comment on peut l'utiliser par exemple pour caractériser le temps long du système des ondes. On présentera ensuite une décomposition discrète des champs de vecteurs constants par morceaux sur triangles, proposée dans [1], et adaptée à l'analyse des schémas volumes finis pour le système des ondes [2,3] Dans un deuxième temps, nous remettrons cette décomposition pour les volumes finis sur triangles dans le contexte du calcul discret extérieur [4], et en particulier dans le contexte des diagrammes de de-Rham discrets distributionnels, proposés dans [5]. On verra comment étendre ces diagrammes à des espaces d'approximations compatibles avec les méthodes d'ordre élevé de type Galerkin discontinu, et comment étendre les résultats des maillages triangulaires aux maillages quadrangulaires. En se basant sur ces espaces d'approximation, on verra comment utiliser ces espaces d'approximation pour développer des méthodes numériques préservant des contraintes de type divergence ou rotationnel (par exemple: MHD ou Maxwell), et comment résoudre le problème de précision des schémas volumes finis/Galerkin discontinu à bas nombre de Mach. Ces derniers travaux sont effectués avec Jonathan Jung (UPPA) et ont été publiés dans [6,7,8].
[1] Arnold, D. N., & Falk, R. S. (1989). A uniformly accurate finite element method for the Reissner–Mindlin plate. SIAM Journal on Numerical Analysis, 26(6), 1276-1290.
[2] Dellacherie, S., Omnes, P., & Rieper, F. (2010). The influence of cell geometry on the Godunov scheme applied to the linear wave equation. Journal of Computational Physics, 229(14), 5315-5338.
[3] Jung, J., & Perrier, V. (2022). Steady low Mach number flows: identification of the spurious mode and filtering method. Journal of Computational Physics, 468, 111462.
[4] Arnold, D. N. (2018). Finite element exterior calculus. Society for Industrial and Applied Mathematics.
[5] Licht, M. W. (2017). Complexes of discrete distributional differential forms and their homology theory. Foundations of Computational Mathematics, 17(4), 1085-1122.
[6] Jung, J., & Perrier, V. (2024). Behavior of the discontinuous Galerkin method for compressible flows at low Mach number on triangles and tetrahedrons. SIAM Journal on Scientific Computing, 46(1), A452-A482.
[7] Perrier, V. (2025). Discrete de-Rham complex involving a discontinuous finite element space for velocities: the case of periodic straight triangular and Cartesian meshes. Annales Henri Lebesgue, 8, pp.417-452.
[8] Perrier, V. (2026). Development of discontinuous Galerkin methods for hyperbolic systems that preserve a curl or a divergence constraint: The case of linear systems. Journal of Computational Physics, 544(114445).